Вопросы и задачи по стереометрии.



Вопросы по стереометрии.

 

1. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом (§1.2).

2.Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак скрещивающихся прмых(Т 1.1).

3. Прямая и плоскость в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости (Т 2.1).

4. Теорема о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости (Т 2.2)

5. Теорема о линии пересечения двух плоскостей, каждая из которых проходит через одну из двух параллельных прямых (§ 2.1, Сл.1).

6. Транзитивность параллельности прямых (§2.1, Сл. 2).

7. Теорема о прямой параллельной каждой из двух пересекающихся плоскостей (§2.1, Сл.3)

8. Параллельность плоскостей. Признак параллельности плоскостей (Т 2.3).

9. Теорема о линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью (Т 2.4).

10. Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями

(Т 2.5).

11. Теорема о существовании и единственности плоскости, параллельной данной плоскости (Т 2.6).

12. Транзитивность параллельности плоскостей (Т 2.7).

13. Параллельное проектирование. Свойства параллельного проектирования (§2.3).

14. Компланарность векторов(§ 3.2). Теорема о разложении вектора по векторам базиса (Т 3.3).

15. Угол между прямыми. Угол между векторами. Теорема о величинах двух углов с соноправленными сторонами (Т.3.4).

16. Скалярное произведение векторов и его свойства (§3.4).

17. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости (Т 4.1).

18. Связь параллельности и перпендикулярности (Т 4.2 – 4.3, Упр. 4.1).

19. Теорема о трех перпендикулярах (Т 4.4).

20. Угол между прямой и плоскостью. Теорема об угле между наклоннойи плоскостью (Т 4.5).

21. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых (Т4.6).

22. Теорема о расстоянии между скрещивающимися прямыми (Т 4.7).

23. Двугранный угол и его величина. Биссектор двугранного угла (Т 5.1 – 5.2).

24. Угол между двумя плоскостями. Признак перпендикулярности двух плоскостей (Т 5.3).

25. Свойство прямой, проведенной перпендикулярно к линии пересечения двух перпендикулярных плоскостей в одной из плоскостей (Т 5.4).

26. Теорема о линии пересечения двух плоскостей, перпендикулрных третьей плоскости (Задача 5.1).

27. Площадь ортогональной проекции многоугольника (Т 5.5).

28. Многогранный угол. Свойства трехгранного угла (Т 5.6 – 5.8).

29. Расчет трехгранных углов. Теорема о трех синусах (Т 5.9).

30. Теорема об основании высоты пирамиды с равными боковыми ребрами (или с равными углами наклона боковых ребер к основанию) (Т 9.1).

31. Теорема об основании пирамиды с равными двугранными углами при основании (с равными углами наклона боковых граней к основанию) (Т 9.2).

32. Теорема о проекции общего ребра двух равных плоских углов трехгранного угла на плоскость третьего плоского угла и её следствие (Т 9.3).

33. Зависимость между основными углами в правильной пирамиде.

34. Многогранники и их элементы (§2.4, 4.4, 6.2).

35. Площади поверхностей и объёмы многогранников (§4.4).

36. Правильные многогранники. Теорема Эйлера (§ 6.3, 6.4).

37. Основные геометрические места точек прастранства (§7.1).

38. Параллелепипед и его свойства (§2.4, 4.4).

39. Тетраэдр (П 3.3, Зд. 3.3, Пр 4.7, Зд4.11 – 4.12, 4.4).

40. Вспомогательный многогранник. Доказать, что объём тетраэдра вычисляется по формуле V = 1/6abdsin (Пр. 9.11, 9.5).

 

 

 

 

Задачи на построение.

1. Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания.

2. Постройте сечение пятиугольной призмы плоскостью проходящей через точки M, N, P, лежащие на грани АА1Е1Е, ребрах ВВ1 и СС1 соответственно.

3. Построить сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD, плоскостью, проходящей через точку М на ребре АВ, перпендикулярной к АВ.

4. Через точку М диагонали куба провести сечение, перпендикулярное к этой диагонали.

5. В основании прямой призмы лежит ромб. В плоскости меньшего диагонального сечения призмы дана прямая MN, пересекающая оба боковых ребра призмы. Построить сечение призмы, плоскостью проходящей через MN параллельно диагонали основания призмы.

6. Построить сечение данной правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания параллельно боковой грани пирамиды.

7. Построить сечение правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точку М на боковом ребре ВВ1 призмы, параллельно диагонали основания АС и скрещивающейся с ней диагонали ВD1.

8. Построить сечение данной правильной четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через середину М стороны ВС основания, параллельно диагонали АС основания и боковому ребру SB.

9. Построить сечение данной пятиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания АВ пирамиды и точку N на одном из ее боковых ребер.

10. Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания ВС и заданную точку на оси симметрии призмы.

11. Построить сечение пятиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через точки Р и N лежащие на боковых ребрах SB и SE соответственно и точки М лежащей на ребре SA.

12. Построить сечение данной пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через данные три точки М1, N1,P1 где М1,Р1лежат на боковых ребрах , а N1 на боковой грани призмы.

13. Построить сечение куба АВСDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки К,Р,Т, где К лежит на ребре АВ, Р лежит на ребре ВВ1, а точка Т на ребре СС1.

14. ABCDA1B1C1D1 – куб. Точка В2— середина отрезка ВВ1 , а С2— середина отрезка ВС1. Постройте сечение куба плоскостью АВ2С2.

15. Построить сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через медиану АК боковой грани ASB и перпендикулярной к плоскости основания.

16. Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через середину бокового ребра параллельно стороне основания и перпендикулярную к плоскости основания пирамиды.

17. Построить сечение пирамиды SABCDF плоскостью, проходящей через точку N на боковой грани и имеющей след d в плоскости основания, не параллельной ни одной из сторон основания.

18. Точки P,Q и R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка Р лежит на грани СС1D1D, точка Q на грани АА1ВВ1, точка R на ребре С1В1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью PQR.

19. Точки P,Q и R взяты на ребрах параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка Р лежит на ребре СС1, точка Q на ребре DD1, точка R на ребре А1В1. Построить след секущей плоскости на плоскости АВС.

20. Точки P,Q и R взяты на ребрах параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка Р лежит на ребре СС1, точка Q на ребре DD1, точка R на ребре А1В1. Построить след секущей плоскости на плоскости АА1D1.

21. На ребре ВВ1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка К- середина этого ребра и точка Р, такая что ВР:ВВ1=1:3. построить линию пересечения плоскостей (РАD) и (КА1D1).

22. В правильном тетраэдре SABC прямая DO проходит через точку D – середину ребра SC и точку О – точку пересечения медиан треугольника АВС. Точка F – середина ребра SA. Постройте угол между прямыми DO и BF.

23. Основанием пирамиды SABCD является квадрат, а ее ребро SA перпендикулярно плоскости основания и SA=AB. На ребрах SB и SС взяты соответственно точки К и L, такие, что SK:SB=1:4 и SL:SC=3:4. построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую KL перпендикулярно плоскости SBC.

24. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка О1— точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, а точка О2 – точка пересечения диагоналей грани АА1В1В. построить угол между прямыми О1О2 и С1D.

 

 

Задачи на вычисление.

1. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра  Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.

2. На ребре  куба  отмечена точка  так, что . Найдите угол между прямыми  и .

3. В прямоугольном параллелепипеде  известны ребра: ,  ,  . Найдите угол между плоскостями ABC и . 

4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD.

5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD.

6. Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.

7. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD равны между собой. Найдите угол между прямыми РН и ВМ, если отрезок РН — высота данной пирамиды, точка М — середина ее бокового ребра АР.

8. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Ребро основания пирамиды равно , высота — . Найдите расстояние от середины ребра AD до прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер CS и ВС соответственно.

9. Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Боковое ребро пирамиды равно , высота равна . Найдите расстояние от середины бокового ребра BDдо прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер АС и AD соответственно.

10. В правильной шестиугольной призме  стороны основания которой равны 3, а боковые ребра равны 4, найдите расстояние от точки С до прямой.

11. В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми  и .

12. Основанием прямой призмы  является равнобедренный треугольник   Высота призмы равна 3. Найдите угол между прямой  и плоскостью 

13. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SB. Найдите угол между плоскостями CMK и ABC, если SC = 6, BC = 4.

14. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM, где M — середина ребра SC.

15. В правильной треугольной пирамиде  с основанием  точка  — середина ребра  точка  — середина ребра  Найдите угол между плоскостями  и  если 

16. Точка  — середина ребра  куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью , если ребра куба равны 2.

17. В правильной четырёхугольной призме  стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре  отмечена точка  так, что . Найдите угол между плоскостями  и .

18. Основанием прямого параллелепипеда  является ромб ABCD, сторона которого равна  а угол ВАD равен . Найдите расстояние от точки А до прямой , если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

19. Основанием прямой призмы  является равнобедренный треугольник ABC, боковая сторона которого равна  а угол ACB равен . Найдите расстояние от точкиА до прямой , если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 12.

20. В правильной треугольной призме  стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка  — середина ребра  Найдите угол между плоскостями  и 

21. Все ребра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 имеют длину 6. Точки М и К – середины ребер АА1 и А1С1 соответственно. Докажите что прямые ВМ и МК перпендикулярны. Найдите угол между плоскостями ВМК и АВВ1.

22. В правильной треугольной пирамиде РАВС с вершиной Р, все ребра которой равны 3, точка М – середина ребра АС, точка О – центр основания пирамиды, точка Е делит отрезок РО в отношении 2:1, считая от вершины пирамиды. Доказать, что плоскость МРЕ перпендикулярна ребру АС. Найдите угол между плоскостями МСЕ и АВС.

23. Точка Е – середина ребра АА1 куба АВСDА1 В1С1D1 . Докажите, что сечение куба плоскостью DЕВ1 является ромбом. Найдите угол между прямыми DЕ и ВD1.

24. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник АВСD со сторонами АВ = 4 и ВС = 3. Длины боковых ребер пирамиды SA = , SB = 3 , SD = 2 Докажите, что SA – высота пирамиды. Найдите угол между прямой SC и плокостью ASB.

25. Дана правильная пирамида РАВС , у которой сторона основания АВ = 6, а боковое ребро РА = 9. Сечение пирамиды, параллельное ребрам АС и РВ, является квадратом. Докажите, что сечение делит ребраАР, СР, СВ и АВ в равном отношении. Найдите угол между диагональю этого квадрата и плоскостью основания пирамиды.

26. В правильной треугольной пирамиде РАВС с основанием АВС известны ребра АВ = 12 РС = 13. Докажите, что прямая, проходящая через середины ребер АР и ВС пересекает высоту пирамиды. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер АР и ВС.

27. В правильной треугольной пирамиде РАВС сторона основания АВ = 12, а боковое ребро РА = 8. Точки М и Ncередины ребер РА и РВ соответственно. Плоскость содержит прямую МN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Докажите, что плоскость делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С. Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка С, а основанием – сечение пирамиды РАВС плоскостью

28. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 известны ребра АВ = 35, АD = 12, СС1 = 21. Докажите, что высоты треугольников АВD и А1ВD, проведенные к стороне ВD, имеют общее основание. Найдите угол между плоскостями АВС и А1ВD.

29. В правильной тругольной призме АВСА1В1С1 сторны основания равны 3, боковые ребра равны 6, точка D – середина ребра СС1. Прямые В1D и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что угол ЕАВ – прямой. Найдите угол между плоскостями АВС и АDВ1.

30. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, у которой сторона основания АВ = 4, а боковое ребро АА1 = 9. Точка М – середина ребра АС, а на ребре АА1 взята точка Т так, что АТ = 5. Докажите, что плоскость ВВ1М делит отрезок С1Т пополам. Плоскость ВТС1 делит отрезок МВ1 на две части. Найдите длину меньшей из них.

31. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD c вершиной S сторона основания равна 6. Точка L – середина SC. Тангенс угла между прямыми DL и SA равен 2. Пусть O – центр основания пирамиды. Докажите,что прямые AS и OL параллельны. Найдите площадь поверхности пирамиды.

32. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторны основания равны 16, боковые ребра равны 11. Точка D – середина ребра ВC. Докажите, что cечение призмы плоскостью DА1В1 является трапецией. Найдите площадь сечения призмы плоскостью DА1В1.

33. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все ребра равны 1. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АА1 и ВС1, перпендикулярна этим отрезкам. Найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.

34. В основании прямой призмы МНРМ1Н1Р1 лежит треугольник МНР со сторонами МН = НР, МР =6

На ребре НН1 выбрана точка К так, что НК : Н1К = 3:4. Угол между плоскостями МНР и МКР равен 60о. Докажите, что расстояние между прямыми МН и М1Р1 равно боковому ребру призмы. Найдите расстояние между МН и М1Р1, если КР = 9.

35. В кубе АВСДА1В1С1Д1 , ребро которого равно 4, точка М является серединой отрезка ВС1. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую АМ, параллельно прямой А1В. Найдите расстояние между прямыми АМ и А1В.

36. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1прямоугольник ABCD в котором АВ = 12, АD= Расстояние между прямыми АС и В1D1 равно 5. Докажите, что плоскость ɤ, проходящая через точку D перпендикулярно прямой ВD1, делит отрезок ВD1 в отношении 1:7, считая от вершины D1. Найдите угол между плоскостью ɤ и плоскостью основания призмы.

37. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEFGH c вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания. Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер SА и SЕ и вершину С, делит ребро SВ в отношении 1:3, считая от вершины В. Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины ребер SА и SЕ и вершину С, делит ребро SF, считая от вершины S.

38. В правильной четырехугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 4. На ребрах АВ, А1D1 и С1D1 отмечены точки М, N и К соответственно, причем АМ = А1N = C1К = 1. Lточка пересечения плоскости МNK с ребром ВС. Докажите, что МNКL – квадрат. Найдите площадь сечения призмы плоскостью МNK.

39. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона АВ основания равна 12, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребрах АВ и В1С1 отмечены точки К и L соответственно, причем АК = 2, В1L = 4. Точка М – середина ребра А1С1. Плоскость параллельна прямой АС и содержит точки К и L. Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости. Найдите расстояние от точки С до плоскости

40. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона АВ основания равна , а высота пирамиды SН равна 3. Точки М и N – середины ребер СD и АВ соответственно, а NT высота пирамиды с вершиной N и основанием SCD. Докажите, что точка Т является серединой отрезка SM. Найдите расстояние между прямыми NT и SC.

Без рубрики

maximios

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *