Вопросы и задачи к смотру знаний по геометрии 8 класс



Вопросы к смотру знаний по геометрии 8класс

Определения

Теоремы

Параллельные прямые

Признак параллельности двух прямых, следствия из теоремы

Секущая

1.Теорема о сумме углов треугольника, следствия

Углы при пересечении прямых секущей

2.Теорема о сумме углов произвольного выпуклого п-угольника

Аксиома параллельных прямых

3.Свойства параллелограмма с доказательствами

Параллелограмм

4.Первый признак параллелограмма

Прямоугольник, ромб, квадрат

5.Второй признак параллелограмма

Средняя линия треугольника

6.Признак прямоугольника

Трапеция, средняя линия трапеции

7.Признак ромба

Центральный угол, вписанный угол

8.Теорема о средней линии треугольника

Вписанный многоугольник

9.Теорема о средней линии трапеции

Описанный многоугольник

10.Теорема Фалеса

Подобные треугольники, коэффициент подобия

11.Теорема о пропорциональных отрезках

Синус, косинус, тангенс, котангенс

12.Теорема о вписанном угле, следствие

Радианная мера угла, радиан

13.Теорема о вписанном треугольнике

 

14.Теорема о вписанном многоугольнике

 

15.Теорема о треугольнике, описанном около окружности

 

16.Теорема о многоугольнике, описанном около окружности

 

17.Теорема об ортоцентре

 

18.Теорема о центроид

 

19.Первый признак подобия

 

20.Второй признак подобия

 

21.Третий признак подобия

 

22.Теорема косинусов

 

23.Теорема синусов

 

24.Теорема о периметре правильного п-угольника

 

25.Теорема Пифагора

 

 

 

Тема

3

4

5

Параллельность

Сумма двух внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми и секущей, равна 1500. Найдите эти углы. (стр.119)

Из точки, взятой на основании равнобедренного треуголь­ника, проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Найдите периметр получившегося четырехугольника, если каж­дая боковая сторона равна 57 дм.

 

На рисунке схематично изображен шлагбаум на желез­нодорожном переезде, к которому в точках К и L прикрепле­ны равные стержниKN иLM, шарнирно соединенные с брусом шлагбаума в точках К иL. В точках М и N шарнирно прикреплен стерженьMN = KL. Объясните, почему во всех положениях шлагбаумаMN ||KL.

 

Многоугольники и окружность

В окружности проведена хорда, равная радиусу. Под каким углом видна эта хорда из центра окружности и произвольной точки окружности, отличной от концов данной хорды?(стр.146)

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 440. Найдите углы, которые образует эта хорда с касательными к окружности, проведенными через ее концы.

В угол АВС вписана окружность. Точки касания делят окружность на дуги, градусные величины которых относятся как 5:4. Найдите величину угла АВС

Движение

Всякий ли треугольник имеет центр симметрии (стр.162)

Центральная симметрия переводит точку А в точку А1. Где находится центр симметрии.

Докажите, что центральная симметрия сохраняет величины углов.

Подобие

В трапеции ABCD (AD//BC) проведены диагонали AC иBD, которые пересекаются в точке O. Найдите подобные треугольники. (стр.186)

Стороны треугольника относятся как 5:3:7. Найдите стороны подобного ему треугольника, у которого разность большей и меньшей сторон составляет 2см.

Докажите, что два прямоугольных треугольника подобны, если у них есть по равному острому углу.

Элементы тригонометрии

Для каких острых углов А выполняется неравенство sinА<cosА? (стр.206)

Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон. Найдите угол между диагоналями.

Катеты прямоугольного треугольника раны а и в. Найдите высоту h опущенную на гипотенузу.

Вариант 1

 

Вариант 2

Тема

3

4

5

Параллельность

Прямые АВ||СD, отрезки AD и CB пересекаются в точке О, угол А равен 400, угол С равен 450. Найдите угол BOD. (стр.122)

 

 

 

 

 

В параллелограммеABCD перпендикуляр (высота), опу­щенный из вершины В, делит сторонуAD пополам. Найдите сто­роны данного параллелограмма, если его периметр равен 76 см и больше периметра треугольника BCD на 20 см.

 

В прямоугольнике ABCD точка Е — середина стороны ВС, отрезки ЕА и ED перпендикулярны. Найдите стороны данного прямоугольника, если его периметр равен 108 см.

 

Многоугольники и окружность

Докажите, что угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги окружности, заключенной внутри этого угла. (стр.146)

Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 4:5. Подкаким углами видна эта хорда из точек окружности?

Окружность разделена точками А,С на дуги, градусные величины которых относятся как 11:3:4. Через точки А, В, С проведены касательные до их взаимного пересечения. Найдите углы образовавшегося треугольника.

Движение

Квадрат повернули вокруг точки пересечения диагоналей на угол 450. Какая фигура является общей частью полученного и исходного квадрата (стр.166)

Постройте отрезок, в который переводит данный отрезок АВ при повороте вокруг точки на угол 300.

Правильный треугольник повернули на 600вокруг центра описанной окружности. Какая фигура является общей частью полученного из исходного треугольников?

Подобие

Через внешнюю точкуЕ окружности проведены прямая, пересекающая окружность в точках А и В, и касательная СЕ (С-точка касания). Докажите, что произведение отрезков АЕ и ВЕ секущей равно квадрату отрезка СЕ касательной (стр.186)

У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны соответственно 17см и 10см, основание другого равно 8см. Найдите его боковую сторону.

В треугольник со стороной а и высотой h, опущенной на нее, вписан квадрат так, что две его вершины лежат на этой стороне треугольника, а другие две – на двух других сторонах треугольника. Найдите сторону квадрата.

Элементы тригонометрии

Докажите тождество 1+tq2A= (стр.208)

Выразите тангенс угла через его косинус.

Найдите синус , тангенс, котангенс угла А, если косинус В равна 0,5.

 

Вариант 3

Тема

3

4

5

Параллельность

Сумма двух углов параллелограмма равна 1480. Найдите его углы. (стр.125)

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Как связаны между собой стороны данного параллелограмма?

 

Докажите, что биссектриса внешнего угла параллелограмма вместе с его сторонами (или их продолжениями), не проходящими через вершину этого угла, образует равнобедренный треугольник, сумма боковых сторон которого равна периметру параллелограмма.

Многоугольники и окружность

Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит сторону AB в точке касания Dна два отрезка: AD=5см и DB=6см. Определите периметр треугольника ABC, если известно, что BC=10см. (стр.153)

Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 6см.

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 20см, средняя линия 5см. найдите боковые стороны трапеции.

Движение

Сколько осей симметрии имеет правильный шестиугольник (стр.169)

Докажите, что диагонали ромба являются его осями симметрии.

Докажите, что перпендикуляр, проведенный к основанию равнобедренной трапеции через его середину, является осью симметрии трапеции.

Подобие

Стороны треугольника равны 10,15,20. Произведение сторон подобного ему треугольника равно 24. Найдите стороны второго треугольника. (стр.189)

На одной стороне угла А отложены отрезки АВ=5см и АС=16см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки АК=8см и АЕ=10см. Подобны ли треугольники АСК и АВЕ?

Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные сторонам треугольника, прилежащим к этим отрезкам.

Элементы тригонометрии

Найдите синус, косинус, тангенс, котангенс 1350 (стр.210)

Известно, что тангенс угла А равен —. Найдите синус и косинус этого угла

Упростите выражение:

Acos2A

 

 

Вариант 4

Тема

3

4

5

Параллельность

Периметр треугольника равен 12см, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр получившегося треугольника. (стр.135)

В параллелограмме ABCD проведены отрезкиBE иDF, где точки Е и F — середины соответственно сторонAD и ВС. Докажите, что четырехугольникBEDF— параллелограмм.

.

Определите вид четырехугольника, который образуют при пересечении биссектрисы углов параллелограмма.

 

Многоугольники и окружность

В окружности проведена хорда, равная радиусу. Под каким углом видна эта хорда из центра окружности и произвольной точки окружности, отличной от концов данной хорды?(стр.146)

Углы А, С четырехугольника АВСDкак 2:3:4. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию. Угол при основании равен 600. Где расположен центр описанной около данной трапеции окружности?

Движение

Даны две пересекающиеся прямые а1 и а2. Точке А сопоставляется точка А1, симметричная А относительно прямой а1. Точке А1 сопоставляется точка А2, симметричная точке А1 относительно прямой а2. Докажите, что соответствие, при котором точке А сопоставляется точка А2, является поворотом. Найдите угол поворота (стр.169)

Даны точки А,С. Постройте точку С1, получающуюся из точки С параллельным переносом на вектор АВ.

Для заданного параллельного переноса постройте фигуры, в которые переходят заданные: отрезок, луч, угол, треугольник.

Подобие

Докажите, что композиция двух преобразований подобия являются подобием (стр.193)

Докажите, что любые два квадрата подобны.

Две хорды окружности пересекаются. Одна из них точкой пересечения делится на отрезки 2см и 8см, а другая пополам. Найдите вторую хорду.

Элементы тригонометрии

Упростить выражение (1+cosA)(1- cosA) (стр. 210)

В треугольнике АВС АВ=12см, АС=8см, угол А равен 600. Найдите третью сторону .

Стороны параллелограмма равны 30мм и 35мм, одна диагональ 55 мм. Найдите другую диагональ.

 

 

 

Вариант 5

Тема

3

4

5

Параллельность

Отношение сторон равнобедренной трапеции равно 1:1:1:2. Найдите углы этой трапеции. (стр.138)

Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых

Противоположные стороны четырехугольникаABCD по­парно параллельны. Найдите величины углов и длины сторон этого четырехугольника, если A = 30°, АВ = 2 см, ВС = 4 см.

 

Многоугольники и окружность

Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит сторону AB в точке касания Dна два отрезка: AD=5см и DB=6см. Определите периметр треугольника ABC, если известно, что BC=10см. (стр.153)

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 18см. найдите ее среднюю линию.

Сторона ромба равна 4см, острый угол-300. Найдите радиус вписанной окружности.

Движение

Сколько различных векторов задают направленные стороны параллелограмма ABCD? (стр.172)

Даны точки А,С. Постройте точку С1, получающуюся из точки С параллельным переносом на вектор АВ.

Для заданного параллельного переноса постройте фигуры, в которые переходят заданные: отрезок, луч, угол, треугольник.

Подобие

Докажите, что произведение отрезков любой хорды, проведенной через внутреннюю точку круга, постоянно и равно произведению отрезков диаметра, проведенного через ту же точку (стр.193)

В прямоугольном треугольнике с катетами 3и 4 опущена высота на гипотенузу. Найдите эту высоту и отрезки, на которые она делит гипотенузу.

Найдите медиану, опущенную на основание равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной в.

Элементы тригонометрии

Даны три стороны треугольника а=2, b=3 c=4. Найдите косинусы его углов. (стр.211)

В треугольнике АВС АВ=6см, <A=450, <C=120.0. Найдите сторону ВС

Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 3см. найдите сторону АВ этого треугольника, если противолежащий ей угол С равен 1500.

 

Вариант 6

Тема

3

4

5

Параллельность

Докажите, что если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом. (стр. 132)

Один из углов, образовавшихся при пересечении двух па­раллельных прямых третьей, в четыре раза меньше одного из остальных. Найдите все углы.

 

В прямоугольной трапеции ABCD (AD || ВС) острый угол ADC равен 45°, сторона AD = 24 см. Из середины М стороны CD восстановлен к ней перпендикуляр, который пересекает продолжение стороны АВ в точке N. Найдите BN.

 

Многоугольники и окружность

Докажите, что если около четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна 1800.

 

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 1см и 3см. Найдите периметр и среднюю линию трапеции.

Три последовательных стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6см,8см,9см. найдите четвертую сторону и периметр этого четырехугольника.

Движение

Могут ли при движении равные прямые переходить в одну? (стр.176)

Докажите, что диагонали ромба являются его осями симметрии.

Докажите, что перпендикуляр, проведенный к основанию равнобедренной трапеции через его середину, является осью симметрии трапеции.

Подобие

Могут ли стороны прямоугольного треугольника быть пропорциональны числам 2,3,4? (стр.202)

Гипотенуза прямоугольного треугольника на 1больше одного из катетов, а сумма катетов на 4больше гипотенузы. Найдите стороны этого треугольника.

Найдите расстояние между основаниями равнобедренной трапеции, у которой основания 5м и 11м, а боковая сторона равна 4м

Элементы тригонометрии

Не вычисляя углов треугольника укажите его вид (относительно углов) , если стороны треугольника равны а=8,и в=10, с=12 9стр.212)

Найдите тангенс угла  AOB, изображенного на рисунке

Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 3см. найдите сторону АВ этого треугольника, если противолежащий ей угол С равен 1500.

 

 

Вариант 7

Тема

3

4

5

Параллельность

Из точки D, принадлежащей гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC проведены две параллельные прямые, параллельные катетам. Сумма периметров получившихся треугольников AKDи DLB равна 10см. Найдите периметр данного треугольника ABC .(рис.132)

Докажите, что биссектрисы внутренних односторонних углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, перпендикулярны, т. е. лежат на перпендикулярных прямых.

 

Найдите сумму углов произвольной пятиконечной звезды.

Многоугольники и окружность

Докажите, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма его противоположных сторон равны. (стр.154)

Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 100 и 1000. Найдите углы ВОС и СОА, где О- центр описанной окружности.

Пусть Н- точка пересечения высот треугольника АВС. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольника АВС, АНВ, ВНСНА, равны между собой.

Движение

Сколько различных векторов задают направленные стороны параллелограмма ABCD? (стр.172)

Постройте отрезок, в который переводит данный отрезок АВ при повороте вокруг точки на угол 300.

Правильный треугольник повернули на 600вокруг центра описанной окружности. Какая фигура является общей частью полученного из исходного треугольников?

Подобие

Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6см и 8см? (стр.202)

Гипотенуза прямоугольного треугольника на 1больше одного из катетов, а сумма катетов на 4больше гипотенузы. Найдите стороны этого треугольника.

Найдите расстояние между основаниями равнобедренной трапеции, у которой основания 5м и 11м, а боковая сторона равна 4м

Элементы тригонометрии

В треугольнике АВС сторона АВ =4см, угол С=1500. Найдите радиус описанной окружности (стр.214)

В треугольнике АВС АВ=12см, АС=8см, угол А равен 600. Найдите третью сторону .

Стороны параллелограмма равны 30мм и 35мм, одна диагональ 55 мм. Найдите другую диагональ.

 

 

Вариант 8

Тема

3

4

5

Параллельность

Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. (стр.135)

На рисунке ABCD — прямоугольник. Определите вид четырехугольника EFGH.

 

Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, параллельна основанию

Многоугольники и окружность

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1 дм. Найдите радиус описанной окружности

Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите углы АСО и ВСО, если угол АОВ равен 1360.

Пусть О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Луч АО пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что OD=DB=DC.

Движение

Докажите, что центральная симметрия переводит прямую в параллельную ей прямую или в нее саму. (стр.162)

Центральная симметрия переводит точку А в точку А1. Где находится центр симметрии.

Докажите, что центральная симметрия сохраняет величины углов.

Подобие

Могут ли при движении равные прямые переходить в одну? (стр.176)

В прямоугольном треугольнике с катетами 3и 4 опущена высота на гипотенузу. Найдите эту высоту и отрезки, на которые она делит гипотенузу.

Найдите медиану, опущенную на основание равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной в.

Элементы тригонометрии

В треугольнике даны две стороны а=3,в= и противолежащий стороне а угол А, равный 300. Найдите угол В, лежащий против стороны в (стр.214)

Найдите тангенс угла А треугольника ABC, изображённого на рисунке.      

Упростите выражение:

Acos2A

 

 

Вариант 9

Тема

3

4

5

Параллельность

Докажите, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. (стр.143)

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Расстояние между основаниями равно 24 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Докажите, что все углы, образованные сторонами и наименьшими диагоналями правильного n-угольника, кратны    

 

Многоугольники и окружность

В треугольнике соединены середины сторон. Докажите, что точка пересечения медиан получившегося треугольника совпадает с точкой пересечения медиан исходного треугольника (стр.158)

Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите углы АСО и ВСО, если угол АОВ равен 1360.

Пусть О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Луч АО пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что OD=DB=DC.

Движение

Даны две пересекающиеся прямые а1 и а2. Точке А сопоставляется точка А1, симметричная А относительно прямой а1. Точке А1 сопоставляется точка А2, симметричная точке А1 относительно прямой а2. Докажите, что соответствие, при котором точке А сопоставляется точка А2, является поворотом. Найдите угол поворота (стр.169)

Постройте отрезок, в который переводит данный отрезок АВ при повороте вокруг точки на угол 300.

Правильный треугольник повернули на 600вокруг центра описанной окружности. Какая фигура является общей частью полученного из исходного треугольников?

Подобие

Стороны треугольника равны 10,15,20. Произведение сторон подобного ему треугольника равно 24. Найдите стороны второго треугольника. (стр.189)

Докажите, что любые два квадрата подобны.

Две хорды окружности пересекаются. Одна из них точкой пересечения делится на отрезки 2см и 8см, а другая пополам. Найдите вторую хорду.

Элементы тригонометрии

Чему равна длина окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной 1? (стр.218)

На рисунке изображена трапеция  . Используя рисунок, найди­те  .

Найдите синус угла А, если косинус В равна 0,5.

 

Вариант 10

Тема

3

4

5

Параллельность

 

Рассмотрите рисунок. На нем изображены окружность и углы и ответьте на вопросы: Как эти углы связаны с данной окружностью? Чем они отличаются? Какой из данных углов можно назвать: а) центральным; б) вписанным?

Найдите углы четырехугольника, если известно, что они пропорциональны числам 1, 2, 3 и 4.

 

В параллелограмме биссектриса одного из его углов делит противоположную сторону на отрезки, равные 5 см и 1,5 дм. Найдите периметр данного параллелограмма.

 

Многоугольники и окружность

Два угла треугольника равны 600и 400. Под какими углами видны его стороны из центра описанной около него окружности (стр.150)

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 18см. найдите ее среднюю линию.

Сторона ромба равна 4см, острый угол-300. Найдите радиус вписанной окружности.

Движение

Сколько различных векторов задают направленные стороны параллелограмма ABCD? (стр.172)

Докажите, что диагонали ромба являются его осями симметрии.

Докажите, что перпендикуляр, проведенный к основанию равнобедренной трапеции через его середину, является осью симметрии трапеции.

Подобие

Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6см и 8см? (стр.202)

На одной стороне угла А отложены отрезки АВ=5см и АС=16см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки АК=8см и АЕ=10см. Подобны ли треугольники АСК и АВЕ?

Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные сторонам треугольника, прилежащим к этим отрезкам.

Элементы тригонометрии

Найдите tq A, если cos A=

(стр.208)

На рисунке изображен параллелограмм  . Используя рисунок, найдите  .

 

Катеты прямоугольного треугольника раны а и в. Найдите высоту h опущенную на гипотенузу.

 

Без рубрики

maximios

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *