Вопросы и ответы к зачёту



Вопросы к зачёту по геометрии 10 класс

1. Запишите формулы для вычисления площади треугольника

1) , где а – сторона треугольника, высота треугольника, опущенная на сторону а.

2) , где а, в – стороны треугольника, α – угол между ними.

3) , где а, в, с – стороны треугольника, р – полупериметр.

4) , где р – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.

5) , где а, в, с – стороны треугольника, R радиус описанной окружности.

6) для равностороннего треугольника , где а – сторона треугольника.

7) для прямоугольного треугольника , где а, в – катеты треугольника.

2. Запишите формулы для вычисления площади четырехугольника

1) для произвольного четырехугольника , где — диагонали четырехугольника, α – угол между ними.

2) если в четырехугольник можно вписать окружность, то , где р – полупериметр, — радиус вписанной окружности.

3) для параллелограмма , где а, в –смежные стороны, α – угол между ними.

8) для параллелограмма , где а – сторона параллелограмма, — высота параллелограмма, опущенная на сторону а.

4) для ромба , где — диагонали ромба.

5) для ромба , где а – сторона ромба, α – угол между ними.

6) для трапеции , где а, в – основания трапеции, — высота трапеции.

7) если трапеция равнобокая, а её диагонали перпендикулярны, то .

3. Свойства площадей треугольника

1) отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

2) медианы треугольника при пересечении разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

3) если треугольники имеют равный угол, то отношение их площадей равно отношению произведения сторон, заключающих эти углы.

 

 

4) если треугольники имеют равные высоты, то отношение их площадей равно отношению оснований, к которым проведены данные высоты.

 

 

4. Свойства медиан треугольника

1) медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника;

2) медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника;

3) медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной окружности.

5. Свойства биссектрис треугольника

1) точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в треугольник окружности;

2) биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

6. Теоремы синусов и косинусов треугольника

1) стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов ;

2) квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними .

7. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

1) высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое отрезков, на которые гипотенуза делится этой высотой;

2) катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла;

8. Формулы для радиусов вписанной и описанной окружности треугольника.

1) , где а, в, с – стороны треугольника;

2) радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла ;

3) для равностороннего треугольника ;

4) для прямоугольного треугольника , где с – гипотенуза треугольника;

5) , где S – площадь треугольника, р – его полупериметр;

6) для равностороннего треугольника ;

7) для прямоугольного треугольника , где а, в – катеты, с – гипотенуза.

9. Свойство треугольников, на которые разбивается трапеция диагоналями

Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника, причём, треугольники, прилежащие к основаниям трапеции подобны, а прилежащие к боковым сторонам равновелики.

10. Особое свойство трапеции

В любой трапеции четыре точки лежат на одной прямой: середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон.

11. Свойства трапеции, в которую можно вписать окружность

1) боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом;

2) радиус окружности есть среднее геометрическое отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону;

3) если трапеция при этом равнобокая, то боковая сторона равна средней линии.

12. Соотношения между сторонами и диагоналями параллелограмма

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

 

13. Свойство треугольников, на которые параллелограмм делится диагоналями

1) каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника;

2) две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

14. Свойства угла между высотами параллелограмма

Высоты параллелограмма, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный углу параллелограмма при соседней вершине.

15. Свойства биссектрис параллелограмма

Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой.

16. Свойство окружности, вписанной в четырехугольник и описанной около четырехугольника

1) в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противолежащих сторон равны;

2) около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180 градусов.

 

17. Свойства центрального и вписанного угла окружности

Центральный угол окружности равен дуге, на которую он опирается, вписанный угол окружности равен половине дуги, на которую он опирается.

18. Свойство угла между касательной и хордой

Угол, составленный касательной и хордой, равен половине дуги, стягиваемый этой хордой.

19. Свойство углов между хордами или секущими

1) угол, составленный пересекающимися хордами с вершиной внутри окружности равен полу сумме соответствующих дуг;

2) угол, составленный секущими к окружности с вершиной вне окружности, равен полу разности соответствующих дуг.

20. Свойство отрезков пересекающихся хорд

Произведение отрезков пересекающихся хорд равны.

21. Свойства отрезков касательных и секущих

1) если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной;

2) произведение длин секущих на их внешние части равны.

 

 

22. Формула для отрезка общей касательной к двум касающимся окружностям

 

 

 

Без рубрики

maximios

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *